Als Kurt Gödel 1931 sei­ne Unvoll­stän­dig­keits­sät­ze for­mu­lier­te, erschüt­ter­te er die Grund­fes­ten der mathe­ma­ti­schen Logik und setz­te einer jahr­hun­der­te­al­ten Visi­on ein jähes Ende. Die­se bei­den fun­da­men­ta­len Theo­re­me zei­gen auf unwi­der­leg­ba­re Wei­se die prin­zi­pi­el­len Gren­zen for­ma­ler, wider­spruchs­frei­er axio­ma­ti­scher Sys­te­me auf, wie sie in der Mathe­ma­tik und ins­be­son­de­re der Arith­me­tik ver­wen­det wer­den. Aber auch für die Ver­teil­te Künst­li­che Intel­li­genz ist das nicht ohne Folgen. 

Die bei­den Säu­len von Gödels Revolution

Der ers­te Unvoll­stän­dig­keits­satz offen­bart eine ver­blüf­fen­de Wahr­heit: In jedem hin­rei­chend star­ken, wider­spruchs­frei­en for­ma­len Sys­tem exis­tie­ren Aus­sa­gen, die weder bewie­sen noch wider­legt wer­den kön­nen. Dies bedeu­tet nichts weni­ger, als dass nicht jede wah­re, in die­sem Sys­tem for­mu­lier­ba­re Aus­sa­ge auch beweis­bar ist. Es gibt also stets “wah­re”, aber unent­scheid­ba­re Aus­sa­gen – mathe­ma­ti­sche Wahr­hei­ten, die für immer im Schat­ten der Unge­wiss­heit verharren.

Der zwei­te Satz geht noch wei­ter und trifft das Herz jeder sys­te­ma­ti­schen Selbst­ge­wiss­heit: Ein sol­ches Sys­tem kann sei­ne eige­ne Wider­spruchs­frei­heit nicht voll­stän­dig mit den Mit­teln bewei­sen, die es selbst bereit­stellt. Die Kon­sis­tenz eines hin­rei­chend star­ken Sys­tems bleibt für das Sys­tem selbst unbe­weis­bar – es kann sich nicht an den eige­nen Haa­ren aus dem Sumpf der Unge­wiss­heit ziehen.

Die mathe­ma­ti­sche Archi­tek­tur des Beweises

Gödels genia­les Vor­ge­hen beruhte…